SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA SMA - Bagian Kedua

1. Untuk setiap pasangan bilangan asli a dan b, sebuah fungsi memenuhi b²f(a) = a²f(b). Bila f(2) ¹ 0 maka nilai dari F(7)-F(1)/F(2) adalah ××××××

2. Segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku di A dengan panjang sisi-sisinya 60, 80 dan 100. Dari titik A dibuat garis memotong sisi BC di D sehingga keliling segitiga ABC terbagi sama panjang. Panjang AD sama dengan ×××××××××××

3. Jika x memenuhi persamaan (x² + 3x + 2)(x² + 7x + 12) + (x² + 5x + 6) = 0, maka tentukan himpunan semua nilai x real yang memenuhi.

4. Dari satu set kartu bridge diambil dua buah kartu satu per satu tanpa pengembalian. Berapakah peluang kartu pertama yang terambil adalah kartu King dan kartu kedua adalah kartu sekop ?

5. Tentukan nilai k terbesar sehingga 27^k membagi 2007¹⁹⁴⁵.

6. Sebuah lingkaran menyingggung keempat sisi sebuah persegi yang memiliki panjang sisi 6. Sebuah lingkaran yang lebih kecil menyinggung dua sisi persegi dan bagian luar lingkaran besar tersebut. Tentukan jari-jari lingkaran kecil.

7. Tiga buah dadu dilempar sekaligus. Berapakah peluang bahwa hasil kali ketiga mata dadu menghasilkan bilangan genap dan penjumlahan ketiga mata dadu juga genap ?

8. Diketahui 3 < x £ 1928 dan 1945 < y £ 2007. Misalkan z adalah nilai maksimum dari      (y - x). Tentukan nilai maksimum dari  ëz - (y - x)û .

(Tanda ëaû menyatakan bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan a. Sebagai contoh ë2,45û = 2,   ë0û = 0,   ë16û = 16,   ëpû = 3,   ë-4,5789û = -5)

9. Diketahui a dan b bilangan asli dan memenuhi a/b=5/11 serta a + b adalah bilangan kuadrat sempurna tiga angka. Tentukan semua nilai a + b yang memenuhi.

10.  Pada segitiga ABC, garis bagi sudut A memotong sisi BC di D. Sebuah garis dari B memotong tegak lurus AD di titik E. Dibuat sebuah garis sejajar AC melalui E dan memotong sisi AB di H dan sisi BC di G. Jika AB = 26, BC = 28, AC = 30, maka tentukan panjang DG.